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標題:

不等式的應用3題

發問:

1. 以兩種不同方法計算： 凸2013邊形最多有多少個內角為銳角？ 2. 從2013起寫出一組連續的正整數，然後刪掉其中一個數，則剩下的數之平均值為2557又19/33，求刪掉之數。 3. 從2013起寫出一組連續的正整數，然後刪掉其中兩個數，則剩下的數之平均值為2556又371/544，求刪掉之兩數之和。

最佳解答:

1) 證一 : 凸 2013 邊形的外角和是 360° , 故為鈍角的外角 < 360/90 = 4 個 , 也就是說凸 2013 邊形內角之中最多有 3 個銳角。 證二 : 設凸 2013 邊形內角共有 n 個為銳角 , 則內角為直角或鈍角的共 2013 - n 個 , 有 n * 90° + (2013 - n)180° > (2013 - 2)180° = 內角和 n * 90° > (n - 2)180° n > 2(n - 2) n < 4 故 n 最多為 3 , 凸 2013 邊形最多有 3 個內角為銳角。 註 : 一般地, 任何凸多邊形最多有 3 個內角為銳角。 但此結論不適用於凹多邊形, 如凹十邊形「☆」就有 5 個內角為銳角。 2) 設寫出的一組連續正整數是 2013 , 2014 , ... n , 刪掉了 d , 則 2013 ≤ d ≤ n 。有 (2013 + 2014 + ... + n - d) / (n - 2012 - 1) ≥ [2013 + 2014 + ... + (n - 1) + n - n] / (n - 2012 - 1) [(n + 2013)(n - 2012)/2 - d] / (n - 2013) = 2557 + 19/33 ≥ [(n + 2012)(n - 2013)/2] / (n - 2013) 2557 + 19/33 ≥ (n + 2012)/2 n ≤ 3103 + 5/33 n ≤ 3103 及 (2013 + 2014 + ... + n - d) / (n - 2012 - 1) ≤ [2013 + 2014 + 2015 + ... + n - 2013] / (n - 2012 - 1) [(n + 2013)(n - 2012)/2 - d] / (n - 2013) = 2557 + 19/33 ≤ [(n + 2014)(n - 2013)/2] / (n - 2013) 2557 + 19/33 ≤ (n + 2014)/2 n ≥ 3101 + 5/33 n ≥ 3102 ∴ 3102 ≤ n ≤ 3103 注意 33 | n - 2013 , 故 n = 3102。依題意得 (2013 + 2014 + ... + 3102 - d) / (3102 - 2012 - 1) = 2557 + 19/33 [(2013 + 3102)(3102 - 2012)/2 - d] = 1089 (2557 + 19/33) 5115 * 1090/2 - d = 2785200 d = 2475 為刪掉之數。 3) 設寫出的一組連續正整數是 2013 , 2014 , ... n , 刪掉了 a 和 b , 且 2013 ≤ a < b ≤ n 。有 [2013 + 2014 + ... + n - (a + b)] / (n - 2012 - 2) ≥ [2013 + 2014 + ... + (n - 2)] / (n - 2012 - 2) 2556 + 371/544 ≥ [(n + 2011)(n - 2014)/2] / (n - 2012 - 2) 2556 + 371/544 ≥ (n + 2011)/2 n ≤ 3102 + 99/272 n ≤ 3102 及 [2013 + 2014 + ... + n - (a + b)] / (n - 2012 - 2) ≤ [2015 + 2016 + ... + n] / (n - 2012 - 2) 2556 + 371/544 ≤ (n + 2015)(n - 2014)/2 / (n - 2014) 2556 + 371/544 ≤ (n + 2015)/2 n ≥ 3098 + 99/272 n ≥ 3099 ∴ 3099 ≤ n ≤ 3102 注意 544 | n - 2014 , 故 n = 3102。依題意得 [2013 + 2014 + ... + 3102 - (a + b)] / (3102 - 2012 - 2) = 2556 + 371/544 (2013 + 3102)(3102 - 2012)/2 - (a + b) = 2781670 a + b = 6005 為刪掉之兩數之和。 驗算 : 設刪掉了 3002 和 3003 , 剩下的數之平均值為 (2013 + 2014 + ... + 3102 - 3002 - 3003) / (3102 - 2012 - 2) = [(2013 + 3102)(3102 - 2012)/2 - 6005] / 1088 = (5115 * 1090 / 2 - 6005) / 1088 = 2556 + 371/544

其他解答:6A560DB68EC65D60